Unterhaltung
Auf einem Tisch liegen zehn Äpfel mit den Zahlen 0 bis 9 etikettiert und so gelegt, dass an jeder Seite des Apfeldreiecks vier Äpfel liegen und in der Mitte ein Apfel.
Wie sind die Äpfel zu legen, damit für alle drei Seiten die gleiche und kleinst mögliche Summe der Zahlen auf den Etiketten herauskommt?
Im Apfeldreieck oben lauten die Summen:
24 (=9+4+8+3), 14 (=3+5+6+0), 12 (=9+1+2+0).
Apfelpyramide
Schritt 1: Gleichungen
In Gleichungsform sehen die Summen der Zahlen an den drei Seiten der Apfelpyramide zum Beispiel so aus:
a + d + e + b = x
a + h + i + c = x
b + f + g + c = x
Die eine Anforderung, dass die Summe der Seiten gleich sein soll, kommt durch die gemeinsame Variable x zum Ausdruck.
Schritt 2: Nachdenken
Wie müssen die Zahlen liegen, dass eine minimale Lösung herauskommt?
Schritt 3: Minimalbedingung
Eine minimale Lösung muss an den Ecken die Zahlen 0, 1, 2 und in der Mitte die Zahl 9 haben, alle anderen Zahlen würden größere Summen liefern.
Die Zahlen 0, 1, 2 an den Ecken a, b, c eingesetzt ergibt:
0 + d + e + 1 = x -> D + 1 = x
0 + h + i + 2 = x -> H + 2 = x
1 + f + g + 2 = x -> F + 3 = x
somit
D + 1 = H + 2 -> D = H + 1
H + 2 = F + 3 -> H = F + 1
D + 1 = F + 3 -> D = F + 2
Die Summen D, F, H jeweils zweier Zahlen, mit D=d+e, F=f+g, H=h+i, stehen in folgender Beziehung:
D ist um 1 größer als H, H ist um 1 größer als F und D ist um zwei größer als F, kurz: D > H > F. Das heißt:
Schritt 4: Paarsummen
Die Paarsummen D, F, H müssen drei aufeinander folgende Zahlen sein, wobei zur Bildung der Paarsummen nur noch die Zahlen 3, 4, 5, 6, 7, 8 zur Verfügung stehen.
Insgesamt sind diese Zahlenpaare und Paarsummen möglich:
| Zahlenpaare | Paarsummen | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |||||
| 3 | (3,4) | (3,5) | (3,6) | (3,7) | (3,8) | 3 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |||
| 4 | - | (4,5) | (4,6) | (4,7) | (4,8) | 4 | - | 9 | 10 | 11 | 12 | |||
| 5 | - | - | (5,6) | (5,7) | (5,8) | 5 | - | - | 11 | 12 | 13 | |||
| 6 | - | - | - | (6,7) | (6,8) | 6 | - | - | - | 13 | 14 | |||
| 7 | - | - | - | - | (7,8) | 7 | - | - | - | - | 15 | |||
Schritt 5: Lösungsmenge
Indem man alle Dreiertupel (D,F,H) der Paarsummen, angefangen mit (7,8,9) bis (13,14,15), aufschreibt und alle nicht möglichen Kombinationen streicht, bleiben als Lösungen die Dreiertupel ((4,6), (3,8), (5,7)) und ((3,7), (5,6), (4,8)) übrig.
Schritt 6: Erste Lösung
Im letzten Schritt werden diese Dreiertupel geprüft. Für das erste Dreiertupel ergibt das, eingesetzt in die Gleichungen der drei Seiten,
... für das Zahlenpaar (4,6):
0 + 4 + 6 + 1 = 11
0 + 4 + 6 + 2 = 12
1 + 4 + 6 + 2 = 13
... für das Zahlenpaar (3,8):
0 + 3 + 8 + 1 = 12
0 + 3 + 8 + 2 = 13
1 + 3 + 8 + 2 = 14
... für das Zahlenpaar (5,7):
0 + 5 + 7 + 1 = 13
0 + 5 + 7 + 2 = 14
1 + 5 + 7 + 2 = 15
und mit den Gleichungen der Summe 13 eine Lösung:
Wie lautet die zweite Lösung?